Золотое сечение

Урок ведет математик Лазарь Людмила Павловна.


Цель: сегодня мы раскроем тайны “золотого сечения”. Узнаем, что существует такая золотая точка на любом отрезке, которая обеспечивает, присутствие красоты, соразмерности всех частей, рассмотрим примеры где встречается “золотое сечение” в живой и не живой природе. Проведем практическую работу на нахождения “золотого сечения”.

 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении … Первое можно сравнить с мерой золота ; второе же больше напоминает драгоценный камень.”

Иоганн Кеплер


Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое “золотое сечение” – далеко не все. Расскажем вам об этом “драгоценном камне”.

Итак – “золотое сечение” – это такое деление целого на две неравные части, при котором

целое так относится к большей части, как большая к меньшей.

Рассмотрим деление отрезка на части в отношении равном “золотому сечению”.

Пусть точка М делит отрезок АВ в золотом отношении.

. Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э.

Итак “золотое сечение” – это иррациональное число, оно приблизительно равно 1,618.


Задача 1. Возьмите отрезок длиной 10 см и разделите его приблизительно в золотом отношении.

(6,2 см и 3,8 см) одна часть отрезка больше другой в 1,6 раза.

Части “золотого сечения” составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

В эпоху Возрождения “золотое сечение2 было очень популярным среди художников, скульпторов , архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художники старались, чтобы отношение ее сторон равнялось Ф. Такой прямоугольник стали называть “золотым”.


Задача 2. Построим золотой прямоугольник.

  1. Начертим квадрат и разделим его на два равных прямоугольника.
  2. В одном из прямоугольников проведем диагональ АВ.
  3. Циркулем проведем окружность радиуса АВ с центром в точке А.
  4. Продолжим основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведем под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.

Измерьте линейкой длины сторон построенного прямоугольника MNKP и вычислите отношения большей стороны к меньшей. (Отношение сторон должно быть примерно равно 1,6).

Но как же разделить отрезок в золотом отношении?

С помощью непосредственных измерений сделать это не возможно, поскольку число Ф–иррациональное. Древние мастера использовали циркуль и линейку, причем были найдены различные способы построения. Рассмотрим один из них, самый простой.

Пусть дан отрезок АВ , и надо осуществить его “золотое сечение”. Проведем перпендикуляр к отрезку АВ (будем считать, что АВ=1) и отложим на нем отрезок ВД = 2АВ. Тогда =АД. Из точки Д проведем окружность радиусом ДК, где ДК=АВ.

Тогда . Теперь проведем окружность с центром в точке А радиусом   Она пересечет отрезок АВ в точке С золотого сечения, поскольку АС= .

Итак, найдена, казалось бы, совершенно ординарная точка на обычном отрезке. А между тем ею обеспечивается присутствие красоты, соразмерности всех частей.


“Золотое сечение” в архитектуре

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н.э.).

Строительством храма Парфенон руководил архитектор Фидий (краткое сообщение о этом произведении).


Парфенон — главный храм в древних Афинах, посвященный покровительнице этого города и всей Аттики, богине Афине-Девственнице (). Он красовался на самом высоком пункте афинского акрополя, там, где перед тем стоял не вполне достроенный храм той же богини, заложенный еще до нашествия. По окончании персидских войн, в правление Перикла, приступили к сооружению, на месте прежнего святилища, нового, более обширного и роскошного храма, при чем пущено в ход искусство лучших из тогдашних художников и употреблены огромные денежные средства. Строителями П. называют Иктина и Калликрата; первому, по-видимому, принадлежал проект этого здания, а второй заведовал производством строительных работ. Велики скульптор Фидий и сам Перикл наблюдали за постройкой, продолжавшейся около десяти лет, с 448 по 438 г. До Р. Хр. На прямоугольной платформе (в 68,4 м длины и в 30,38 м ширины), сложенной из пирейского камня и на которую можно было со всех сторон подниматься по трем ступеням, высился построенный из пентелийского мрамора величественный периптер дорического стиля с восемью колоннами в каждом коротком фасе и с семнадцатью в каждом длинном. Вышиной эти колонны были в 11 м, диаметр их разреза в нижнем конце равнялся 1,8 м. Окруженный этой колоннадой, стоит и посей день.

Отношение длины здания Парфенона в Афинах к его высоте равно Ф (фи).


КВ: АВ = СВ :АС= АВ:ВС = Ф.

Другим примером из архитектурной древности является Пантеон, храм всех богов в Риме.


Известный русский архитектор Казаков Матвей Федорович в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту Казакова построена в Москве Голицынская больница, которая в настоящее время называется “Первая клиническая” больница имени Пирогова.



Петровский дворец в Москве. Построен по проекту М.Ф. Казакова.

Петровский дворец в Москве 1776-1796 гг.


Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова (1786 г.)– является одним из наиболее совершенным произведением архитектуры Василия Ивановича Баженова.

Прекрасное творение прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы. Наружный вид сохранился почти без изменения до наших дней, ныне Российская государственная библиотека.

Многие высказывания зодчего заслуживают внимания и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: “Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания … К достижению сего служит руководством знание пропорции , перспективы , механики или вообще физики ,а всем им общим вождем является рассудок”


Дом – Пашкова. В.И. Баженов.


Внимание людей издавна привлекала совершенство формы пятиконечная звезда.

АD:АС = АС:СD=АВ:ВС=Ф.


Пятиконечной звезде - около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным знаком.

Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Чем же объясняется такая популярность? Тем, что совершенная форма этой фигуры радует глаз. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции.


“Золотое сечение” в скульптуре

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорции. Отношение частей человеческого тела связывалось с формулой “золотого сечения”.

Пропорции “золотого сечения” создают впечатления гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.


Аполлон Бельведерский

Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях.

Самая знаменитая из них была статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из чудес света и статуя Афины Парфенос.


Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволило обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно 13:8=1,625, а взрослых женщин оно составляет 8:5 = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к “золотому сечению”.

“Золотое сечение” в изобразительном искусстве.

Особый вид изобразительного искусства Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения .


В живописи и скульптуре храмов, на предметах домашнего обихода древние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Были установлены каноны изображения стоящего человека идущего, сидящего и т.д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам. Художники Древней Греции совершали специальные путешествия в Египет, чтобы поучиться умению пользоваться каноном.

Перед вами канон изображения стоящего человека, все пропорции человека связаны формулой “золотого сечения”.


Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи.


Леонардо да Винчи

Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил : “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Сам термин “золотое сечение” ввел Леонардо да Винчи. Он говорил о пропорции человеческого тела.

“Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней”.


В наиболее известной картине Леонардо, портрете Моны Лизы (так называемой “Джоконды”, около 1503, Лувр) образ богатой горожанки предстает таинственным олицетворением природы как таковой, не теряя при этом чисто женского лукавства; внутреннюю значительность композиции придает космически-величавый и в то же время тревожно-отчужденный пейзаж, тающий в холодной дымке. Ее композиция основана на золотых треугольниках, которые являются частями правильного звездчатого пятиугольника.


Нет живописи более поэтичней, чем живопись Боттичелли Сандро, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его “Венера”. Для Боттичелли его Венера – это воплощение идеи универсальной гармонии “золотого сечения”, господствующего в природе.


Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом .


А можно ли говорить о “золотом сечении” в музыке? Можно, если измерять музыкальное произведение по времени его исполнения. В музыка золотое сечение отражает особенности человеческого восприятия временных пропорций. Точка “золотого сечения” служит ориентиром формообразования. Часто на нее приходится кульминация. Это может быть так же самый яркий момент или самый тихий, или самое звуковысотное мест. (Прослушать фрагмент музыкального произведения.)

Таким образом, с помощью “золотого сечения” мы увидели родство между видами искусства: музыкой и архитектурой, живописью, математикой и литературой. (Сообщение “Слово о полку Игореве”.)

Сенсационное открытие сделал петербургский поэт и переводчик “Слова о полку Игореве” Андрей Чернов. Он нашел, что построение стихов загадочного древнерусского памятника подчиняется математическим законом. Исследования позволили сделать Чернову заключение о том, что в основу “Слова о полку Игореве”, состоящего из девяти песен, легла круговая композиция.

А поводом к тому, чтобы проверить гармонию поэму алгеброй, послужила статья о жизни древнегреческого математика Пифагора. Внимание Чернова привлекли рассуждения о “золотом сечени”и и о числе , которые восходят к Пифагору. Возникла неожиданная ассоциация: ведь в композиционном построении поэму тоже круг и, следовательно, должны быть “диаметр” и некая математическая закономерность.

Уже первые расчеты стали подтверждать закономерность, да еще какую! Если число стихов во всех трех частях (их 804) разделить на число стихов в первой и последней части (256), получается 3,14, т.е. число с точностью до третьего знака.

Открытие Чернова приводят к естественному вопросу: как древний автор “Слова о полку Игореве”, ничего не зная о числе , ни о других математических формулах, привнес организующее математическое начало в этот текст? Чернов предполагает, что автор использовал это интуитивно, подчиняясь образам древнегреческих архитектурных памятников. В те времена храм являл собой всеобъемлющий, художественный идеал, поэтому влиял на ритмику поэтического самовыражения.

Мы убедились, что все-таки существует связь между математикой и литературой, между архитектурой и музыкой. И это не случайно, ведь каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющие во всех искусствах, независимо от того, литература это или математика. Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы.


Если посмотреть на изображение раковины на нем точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом отношении.


“Золотое сечение” представляется тем моментом истины, без выполнения которого не возможно, вообще, что-либо сущее. Что бы мы ни взяли элементом исследования, “золотое сечение” будет везде; если даже нет видимого его соблюдения, то оно обязательно имеет место на энергетическом, молекулярном или клеточном уровнях.

Практическая работа

Работа проводится по группам. Каждой группе выдается чертеж или рисунок или фотография, где нужно найти золотое сечение.

Примеры изображений:

1.

2.

3. Чертеж. Фасад школьного здания.

Примечание от админа rustimes.com
Рекомендую книгу "Золотое сечение. Section divine"
(И.Ш.Шевелёв, М.А.Марутаев, И.Л.Шмелёв), Москва, Стройиздат, 1990.
 

Социальные сервисы:


Адрес заметки: http://rustimes.com/blog/post_1177437753.html
07 июня 2007, 17:47
Спасибо. Красиво и интересно составлен материал, открытие Чернова подтверждает и пифагорейские идеи, и Принцип Гармонии миров.
Приглашаю желающих познакомиться с современным научным развитием пифагорейского Учения в наших Мастерских Сказочной науки на Галактическом Ковчеге - Link
Внимание Админу rustimes.com -
в Новостях Науки у Вас можно было бы отразить выдающиеся достижения русских ученых:
- создателя новой науки Милогия, д.ф.н. Михаила Беляева, открывшего Единый закон сохранения Материи, который порождает все законы сохранения!
Издано две монографии, читаются лекции, материал доступен в творческой лаборатории ученого - www.milogiya2007.ru
а здесь ведется интерактивный лекторий по основам милогии - Link
- создателя новой науки Числонавтика, к.т.н. Алексея Корнеева, открывающего миру тайны числовой голографии, исследующего уникальные свойства золотого ряда и новые математические операции!
Вход в Мастерскую - Link на Ковчеге, поскольку основной сайт ученого сегодня закрыт - Link
- создателя «Музея Гармонии и Золотого Сечения», д.т.н.Стахова А.П., публикующего свои многочисленные труды в Академии Тринитаризма,
а так же можно было бы освещать труды других русских ученых, развивающих идеи тринитаризма и комической этики.
Мир полон чудес!
Со сказочным приветом, Феано.
10 января 2008, 03:14
В настоящее время (с мая 2007 г) функционирует новый, расаширенный сайт. Сайт называется "Числонавтика" и имеет свыше 250 статей по разным тематикам. Это - новый сайт. Его легко найти через поисковики.
Сайт позиционирует своё кредо так:
ЧИСЛОНАВТИКА - универсальная наука XXI века, опирающаяся на фундаментальные свойства чисел для изучения законов Мироздания, проблем Времени, путешествий во Времени, а также для управления безопасностью человеческого Судьбоплавания.
Рубрики:ЧИСЛОНАВТИКА, НОВАЯ НУМЕРОЛОГИЯ, ЭЗОТЕРИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА, "ВЫСШИЙ РАЗУМ сообщает", ЧИСЛОВАЯ ГОЛОГРАФИЯ, Артефакты реальности, Вселенная В.Хлебникова, РИТОРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЛА и др.
В последние полгода на сайте было опубликовано около 30 статей, так или иначе связанных с тайнами золотых сечений и чисел.
Читатели приглашаются в гости и к сотрудничеству равно, как и создатели этого сайта.
10 января 2008, 11:51
№ 3Комментарий автора:
Спасибо за приглашение. Я и раньше с удовольствием читал Ваши работы.
Рунмастер
07 июня 2008, 13:24
древний рим любил пропорцию 1\2 поэтому архитектура и них тяжеловестная и воинственная . а по золотому сечению в искусстве более глубокоя книга А,В,ВОЛОШИНОВ \МАТЕМАТИКА И ИСКУССТВО\1992москва.просвящение
07 июня 2008, 19:51
№ 5Комментарий автора:
А ещё лучше книга "Золотое сечение" (Section divine) И.Ш.Шевелёв, М.А.Марутаев, И.П.Шмелёв, Москва, Стройиздат, 1990.Без темы
Рунмастер
24 ноября 2011, 23:13
"Но как же разделить отрезок в золотом отношении?

С помощью непосредственных измерений сделать это не возможно, поскольку число Ф–иррациональное. Древние мастера использовали циркуль и линейку, причем были найдены различные способы построения. Рассмотрим один из них, самый простой."
@ на видном месте: Собираем триугольничек с катетами 1 и 2, на диагонали откладываем 1 и остаток делим попалам = (2.236 - 1)/2 = 1 + 0.618 + 0.618.
Дальше объяснять? Надеюсь, коррекция "Пи-терских яиц" прошла успешно!
Закрепление: Фи = 2cos (Пи/5).
Удалять пси-генераторы из Пи-тера немедля! То, "Медный всадник", масонская архитектура и "крест" недавно горевший ...
26 ноября 2011, 14:01
0,618 х 5 = 3,09 ))) 3,09+3,09 = 6,18 (10).

Адрес заметки: http://rustimes.com/blog/post_1177437753.html
Ваш комментарий к статье:
Правила комментирования:



cod

Ограничение на длину комментария 10Kb. Вы ввели: 0 символов, осталось: 10240



  1. Все поля формы обязательны для заполнения.
  2. При этом Ваш e-mail не публикуется.
  3. Сообщение должно вместиться в 10 килобайт.
  4. Содержание комментариев, оставленных на опубликованные материалы, является мнением лиц, их написавших, и не обязано совпадать с мнением Администратора, никоим образом не ответственного за выводы и умозаключения, могущие возникнуть при прочтении комментариев, а также любые версии их истолкования.
  5. Не будут опубликованы комментарии:
    1. нарушающие положения законодательства РФ.
    2. содержащие оскорбления любого вида
      (личного, религиозного, национального...);
    3. включающие неуместные теме поста ссылки, в том числе спамовые;
    4. содержащие рекламу любых товаров и услуг, иных ресурсов, СМИ или событий, не относящихся к контексту обсуждения статьи.
    5. не относящиеся к теме статьи или к контексту обсуждения.
  6. Факт оформления Вами комментария является безоговорочным принятием этих условий.

Все заметки категории «Любопытно»